Probabilidad y estadistica

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Conjuntos y técnicas de conteo

Conjunto: es una colección bien definida de objetos, los cuales se denominan elementos o miembros del conjunto. Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}
B = {2, 4, 6,8…}
C = {x | x son colores primarios}

Especificación de conjuntos:

a) Por extensión / método de lista: consiste en enumerar cada uno de sus electos mediante comas y encerrarlo mediante llaves.
b) Por comprensión / método de propiedad: consiste en establecer aquellas propiedades que caracterizan os elementos en el conjunto.

Conjunto Universal o Universo: son todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación que están contenidos en algún conjunto agrande y fijo. Es el total de la muestra. Ejemplo:

A = {x | x es una vocal}
x= {x | x es un estudiante}

Conjunto Vacío: se denota como Ø = { }, y es aquel conjunto que no tiene elementos.

Ejemplo:

Ø = {x/x es un mes que tenga 53 días}
Ø ≠ {0}

Conjunto Disjunto o Ajeno: son aquellos que no tienen elementos en común. Ejemplo:
A = {2, 4, 6,8…}
B = {1, 3, 5,7…}
A y B son disjuntos.

Diagrama de Venn: es una representación en dibujo de los conjuntos. Un rectángulo representa el conjunto universo y un círculo es un subconjunto.

Operaciones, leyes y representaciones de diagramas de Venn

Operaciones entre conjuntos:
a) Unión o Suma: la unión de dos conjunto s A y B representada por A u B, es aquel conjunto de todos los elementos que pertenecen a, A ó a B:
AUB={x | x A o x B}

b) Intersección: la intersección de dos conjuntos A y B se denota A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a, A a B, o a ambos:

A B= {x|x A ^ x B}.

c) Complemento relativo de un conjunto B con respecto a un conjunto A (diferencia de conjuntos): se denota A\B = A-B, conjunto de elementos que pertenecen a, A pero no a B:
A-B= {x|x, A, x B}

d) Complemento Absoluto: se denota AC = A’ =A*, el complemento absoluto o complemento de un conjunto A, es el conjunto de elementos que pertenecen a U pero no pertenecen a A.
AC = { x|x , x U, x A}
Leyes del Algebra de Conjuntos:

1) Leyes de Impotencia:
a) Unión: A U A=A
b) Intersección: A ∩ A = A

2) Leyes asociativas
a) (A U B) U C = A U (B U C)
b) (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C)

3) Leyes conmutativas
a) A U B = B U A
b) A ∩ B = B ∩ A

4) Leyes distributivas
a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
b) AU(BUC)=(A∩B)U(A ∩ C )


5) Leyes de identidad
a) A U Ø = A
b) A ∩ U = A
c) A U U = U
d) A ∩ Ø = Ø

6) Leyes de complemento
a) A U AC = U
b) A ∩ AC = Ø

c) (AC) C = A
c) UC = Ø, Ø = U

7) Leyes de de Morgan
a) (A U B ) C= A C ∩ B C
b) (A ∩ B) C = A C U B C



EJEMPLO DE APLICACIÓN:

1. Una encuesta de 200 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de 3 productos A, B, C:

5 personas consumen solo A
25 personas consumen solo B
10 personas consumen solo C
15 personas consumen A y B pero no C
80 personas consumen B y C pero no A
8 personas consumen C y A pero no B
17 personas no consumen ninguno de los tres productos.

a) ¿Cuántas personas consumen A?
b) ¿Cuántas personas consumen B?
c) ¿Cuántas personas consumen A, B y c?

Técnicas de conteo ó análisis combinatorio.
El análisis combinatorio es una rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales permiten resolver infinidad de problemas prácticos.

Análisis combinatorio: son técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o evento o el número de elementos en un conjunto sin enumerarlos directamente.

Las técnicas mas utilizadas son:
1) Principio de la multiplicación
2) Permutaciones
3) Combinaciones

Principio de la multiplicación: supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas, entonces los eventos E y F pueden ocurrir en (m)(n) formas.

Ejemplo 1:

Suponga que la universidad tiene 3 cursos de Historia, 4 de Literatura y 2 de Ciencias diferentes. ¿Cuantas maneras tiene un estudiante de elegir cada uno de los cursos?

(3)(4)(2) = 24 el estudiante tiene 24 formas de elegir cada uno de los cursos.

Ejemplo 2:

En un restaurante se sirven 4 tipos de sopa, 4 guisados, 5 postres y 3 bebidas diferentes. ¿De cuantas maneras se puede presentar el menú?

(4)(4)(5)(3) = 240 El menú se puede presentar de 240 formas distintas.


Notación Factorial: el producto de los números enteros positivos de 1 a n inclusive ocurre con frecuencia en matemáticas, se representa por el símbolo especial como n! “n factorial”.

n! = (1)(2)(3)…(n-3)(n-2)(n-1)n
n! = (n)(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)
5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
a! = a(a-1)(a-2)!
14! = 14! . = 1 .
18! (18)(17)(16)(15)(14)! 73440




Coeficientes Binomiales:


Los números se denominan coeficientes binomiales, puesto que aparecen como coeficientes en la expresión:



Combinaciones

Una combinación es un arreglo de n objetos, tomado r a la vez, o sea cualquier selección de r objetos donde el orden no cuenta, se denota y se define como:
Ejemplos:
1. Encuentre el número de comités de 3 personas que pueden formarse con un total de 8 personas.

2. Un examen debe responder 8 de 10 preguntas en un examen.
a) De cuantas formas puede el estudiante elegir las 8 preguntas.
b) De cuantas formas si el estudiante debe responder obligatoriamente las 3 primeras

Permutaciones y Diagrama de Árbol

Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se denomina permutación de los objetos. Se pueden dar los siguientes casos de permutaciones:

a) Si n=r, se toman todos los objetos al mismo tiempo, simplemente se calcula como n!
nPr = n! b) Si n>r, se toman r objetos de un total de n, se calcula

nPr = n! .
(n-r)!
c) Permutaciones con repetición: se calcula:

nPr = n! . n1= objetos iguales
n1!n2!n3!...nk! n2= objetos iguales

Para calcular el numero de permutaciones para un multiconjunto, es decir; un conjunto de objetos parecidos.

d) Permutaciones circulares: cuando el arreglo se realiza en un circulo, entonces la probabilidad es (n-1) !.

Ejemplos:
1. Encuentre el número de permutaciones de un comité de 3 personas (presidente, secretario y tesorero) de un total de 8 personas.
2. Cuantas permutaciones se pueden hacer con la palabra PAPAYA.
3. Encuentre el número de permutaciones que se pueden realizar con 5 personas en:
a) una fila:
b) una mesa redonda:

4. Encuentre el número de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamaño estén juntos.

Diagrama de árbol: es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas. Se construye de izquierda a derecha y las ramas que se formen serán los posibles resultados del evento.

Ejemplo: Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximo 5 veces, en cada juego ella gana o pierde $1. Ella empieza con $1 y dejara de jugar si pierde todo su dinero. Concepto Clásico y como frecuencia relativa.

Definición Clásica (a priori): suponiendo que un evento E puede ocurrir de s formas de un total de n formas igualmente posibles, entonces la probabilidad “P” puede ocurrir de s/n.
Definición de Frecuencia Relativa (a posteriori): suponiendo que después de n repeticiones para valores muy grandes de n, un evento E ocurre s veces, entonces la probabilidad de E = s/n.

Espacio Muestral y Eventos

El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Un evento A es un conjunto de resultados o es un subconjunto del espacio muestral S.

Los eventos pueden combinarse parta formar eventos nuevos utilizando las operaciones de conjuntos.

A U B; evento que ocurre sí y solo sí A ocurre, B ocurre o ambos ocurren.
A ∩ B; evento que ocurre sí y solo sí A y B ocurren.
AC; evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre.


Axiomas y Teoremas

Axiomas de probabilidad

Sea S un espacio muestral, entonces P se llama función del evento probabilidad, y P(A) se denomina la probabilidad del evento A, cuando se cumplen los siguientes axiomas:
1. Para cualquier evento A, se tiene P(A) ≥0
2. Para el evento S seguro (espacio muestral) se tiene P(S) = 1
3. Para dos eventos mutuamente excluyentes (disjuntos) A y B
P(A U B) = P(A) + P (B)
4. Regla de adición; para dos eventos cualesquiera A y B
P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Cuando P satisface los axiomas anteriores, el espacio muestral S puede llamarse un espacio de probabilidad.

Teoremas en espacios de probabilidad.

T1 El evento imposible o en otras palabras, el conjunto vacío Ø tiene probabilidad 0 es decir;
P (Ø)=0
T2 Regla de complemento: para cualquier evento A, se tiene:
P (AC) = 1- P(A)

T3 Para cualquier evento A se tiene:
0 ≤ P(A) ≤ 1

T4 Si A contiene a B (A es subconjunto de B), entonces;
P(A) ≤ P (B)

T5 Para dos eventos cualesquiera A y B, se tiene:
P (A\B) = P(A) - P (A∩ B)

Ejemplo:
1. Una clase de 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de las mujeres tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre ó tenga ojos cafés.

Probabilidad Condicional e Independiente

Probabilidad Condicional

Suponga que E es un evento en un espacio muestral S con probabilidad de P (E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que E ha ocurrido, en otras palabras; la probabilidad condicional de A dada E escrita como:

P (A│E) = P(A ∩ E)
P(E)

Eventos Independientes

Se dice que los eventos A y B de u espacio de probabilidad S, son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye sobre la ocurrencia del otro;

P (A∩ B) = P(A) P(B)
De otra forma son dependientes.

Ejemplo:
Sea A el evento en el cual un hombre vivirá 10 años mas y sea B el evento en que su esposa viva 10 años mas, suponga que P(A)=1/4 y P(B) = 1/3, si A y B son eventos independientes, encuentre la probabilidad de que:
Ambos estén vivos:

Teorema de Bayes

Suponga que los eventos A1,A2,…An son mutuamente excluyentes cuya unión es S, y E es un evento del espacio muestral, entonces para K=1,2,…n se tiene:

P(Ak│E) = P(Ak) P(E│Ak) .
P(A1) P(E│A1) + P(A2) P(E│A2) +… P(An) P(E│An)

Ejemplo:
Suponga que el 60% de la clase de 1º de una pequeña universidad son mujeres. Además suponga que 25% de hombres y 10% de mujeres están estudiando matemáticas. Se elige un estudiante al azar, encuentre la probabilidad de que:
a) El estudiante este estudiando matemáticas;
b) Si el estudiante esta estudiando matemáticas cual es la probabilidad de que sea mujer;





GUIA DE ESTUDIO DE PROBABILIDAD

1. Una encuesta de 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B. a.¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas. b. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas. c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas. d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.
2. En una zapatería entraron 1000 personas, en un día, de los cuales: 700 compraron zapatillas, 400 tenis, 550 botas, 320 compraron zapatillas y botas, 60 solo botas, 100 tenis y zapatillas 20 botas y tenis y 150 de los tres. a) ¿Cuántos no compraron nada? b) ¿Cuántos compraron solo zapatillas? c) ¿Cuántos compraron solo botas? R. 60
3. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efectuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información: 55% fuman cigarros P, 50% fuman cigarros Q, 40% fuman cigarros R, 1 0% fuman las tres marcas de cigarro, 20% fuman las dos primeras pero no la tercera,18% no fuman las dos primeras pero si la tercera, 7% no fuman ninguna de las marcas mencionadas o no fuman. Se pregunta: a) ¿qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros? R. 42% b) ¿qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?
4. El instituto de la juventud del estado de México está organizando los equipos de fútbol, béisbol y natación para las próximas “mini-olimpiadas”. Hay 900 miembros del instituto que han manifestado sus deseos de participar en esos eventos deportivos. Se habían obtenido los siguientes datos preliminares del primer listado de computadora, cuando repentinamente se interrumpió le servicio eléctrico:
400 pueden participar en fútbol, 390 pueden participar en béisbol,480 pueden participar en natación, 210 no pueden participar en ninguno de ese tres deportes, 90 participan en los dos primeros pero no en el tercero,190 pueden participar solamente en natación. Debido a que el reporte debía llegara manos de las autoridades del instituto en menos de media hora, el equipo de analistas de información resolvió aplicar conjuntos para obtener la información siguiente:
A) ¿cuántos miembros pueden participar en los tres deportes mencionados?R 200
B) ¿cuántos miembros pueden participar por lo menos en dos de los deportes? R

5. La cámara de la industria textil de la ciudad de nuble ha efectuado un estudio sobre un grupo de 692 empleados de varias empresas, en lo referente a sexo, estado civil y lugar de origen. Se han obtenido los siguientes resultados:
300 hombres, 230 casados, 370 nacidos en el distrito federal, 150 hombres casados, 180 hombres en el distrito federal, 90 casados, del distrito federal y 10 hombres solteros, nacidos fuera del distrito federal.
Se pretende encontrar el número de personas correspondientes a los siguientes conjuntos:
A) El número de personas que son hombres, casados y nacidos en el Df R 40
B) El número de personas que son mujeres, casadas y nacidas en el interior R 30
C) El número de personas que son mujeres, solteras y nacidas en los estados
D) El número de personas que cumplen al menos con una de estas condiciones: que sean hombres casados, hombres y nacidos en el DF, o casados y nacidos en el df.

6. Suponga que se eligen al azar tres artículos de un proceso de manufactura. Se inspeccionan cada uno de ellos y se clasifican como defectuoso (D) y no defectuoso (N). ¿Cuáles son los posibles resultados de esta elección?.

7. Hay tres teorías económicas cada una tan buena como cualquiera de las
Otras, estas teorías predicen la probabilidad de recesión como sigue: teoría i 60%, teoría ii 30 % y teoría iii 20%. Si ocurre recesión. ¿cuál es la probabilidad de que la teoría i sea la correcta?.

8. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de 3, hallar la probabilidad de que: a) seleccionar 3 niños, b) seleccionar 2 niñas, c) seleccionar por lo menos un niño.

9. Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y un estándar. Aproximadamente utiliza el modelo compacto para trasladarse a su trajo las tres cuartas partes del tiempo y el restante usa el carro estándar. Cuando emplea el carro compacto llega a su casa a las 5:30 el 75% de las veces; si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora el 60% de las veces. Si llega a su casa después de las 5:30, ¿Cuál es la probabilidad de que haya usado el carro compacto?

10. En una caja hay 15 canicas: 6 rojas, 4 blancas y 5 azules; si se sacan 4 canicas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) todas sean rojas, b) dos sean blancas, c) una sea azul.

11. ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?. Resuelva el problema si se sientan en una mesa redonda.

12. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de 0.96.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso necesario?
b)¿cuál es la probabilidad de que alguno lo este cuando se necesite?.

13. ¿cuántos números diferentes de cinco cifras significativas se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, si el número cinco debe ir al último ?. (el cero no puede ser el primer número).

14. Sean a,b,........, l 12 puntos dados en el plano r2 tales que no hay tres puntos sobre la misma línea. Encuentre el número n de.
A) Triángulos cuyos vértices vienen de los puntos dados
B) Triángulos cuyos vértices son a y dos puntos más.

15. En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar.
A) si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?
b) si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
C)¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?.

16. A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores del time y newsweek. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 20% de los habitantes leen el time, 16% lee el newsweek y un 1% lee ambos semanarios. Si se selecciona al azar un lector del times, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el newsweek?.

17. Un fabricante de partes de avión sabe por experiencia pasada que la probabilidad de que un pedido estará listo para ser surtido a tiempo es de 0.80 y de que un pedido estará listo para entregarse a tiempo es de 0.72 y también que se entregara a tiempo. ¿cuál es la probabilidad de que este pedido se entregará a tiempo dado que estuvo listo su envío a tiempo?
18. En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide:
a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.
b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.
19. Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.
a. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?
d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?
20. En roanoke collage se sabe que 1/3 de los estudiantes viven fuera del campus. También se sabe que 5/9 de los estudiantes son del estado de virginia y que ¾ de ellos son de fuera del estado o viven en los dormitorios. ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de fuera del estado y viva en el campus?